Introdução:
Progressão geométrica é uma sequência de números reais, formada por termos, que a partir do segundo, é igual ao produto do termo antecedente com uma constante q conhecida como razão da P.G.Dada uma sequência (a1, a2, a3, a4, a5, ...,an, ...), ela será P.G se an=an-1 • q, com n ≥ 2 e n ∈ IN.
Importante lembrar que a razão de uma P. G pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações).
Classificações das progressões geométricas (P.G.s):
De acordo com o valor da razão q, podemos classificar as progressões geométricas em quatro tipos:P. G crescente:
Neste tipo de P.G, a razão q é sempre positiva (q>0) e os termos da progressão são números crescentes. Logo, os números da sequência são sempre maiores que os seus antecessores.Exemplo:
(2, 4, 8, 16, 32, 64...), onde q= 2
P. G decrescente:
Neste tipo de P.G, a razão q é sempre positiva (q>0) e diferente de zero, e os termos da progressão são números decrescentes. Logo, os números da sequência são sempre menores que os seus antecessores.
Exemplo:
(-3, -9, -27, -81, -243...), onde q= 3
P. G oscilante:
Na P.G oscilante, a razão q é sempre negativa (q < 0) e diferente de zero. Consequentemente, os termos da progressão são números positivos e negativos.Exemplo:
(5, -10, 20, - 40, 80... ), onde q= -2
P.G constante:
Na P.G constante, a razão q é igual a 1 e todos os termos da progressão são iguais.Exemplo:
(5, 5, 5, 5, 5, 5...), onde q= 1
Fórmula do termo geral:
Para que se possa encontrar qualquer elemento da P.G a partir da sua razão e primeiro termo, deve-se utilizar a seguinte fórmula:an=a1 • q^(n - 1)
Onde:
an= número que queremos determinar
a1= primeiro termo da sequência
n= quantidade de elementos da P.G
q=razão da P.G
Exemplo: Determine o quinto termo de uma P.G onde a1= 3 e q=4.
I) Para determinarmos o que o problema pede, aplicaremos a fórmula do termo geral. De acordo com o enunciado, temos que:a1= 3, q=4 e n=5.
an=a1 • q^(n - 1)
a5= 3 • 4^(5 - 1)
a5= 3 • 4^4
a5= 3 • 256
a5= 768
Propriedades da P.G:
Primeira propriedade: Em uma P.G com número ímpar de termos, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos.Exemplo: Na P.G (4, 8, 16, 32, 64)
16²= 4 • 64
16=√4 • 64
Segunda propriedade: O produto dos termos equidistantes dos extremos de uma P.G é igual ao produto desses extremos.
Exemplo: Na P.G (1, 3, 9, 27)
1 • 27= 3 • 9=27
Terceira propriedade: Cada termo de uma P.G (a,b,c), a partir do segundo, é a média geométrica entre seu sucessor e antecessor. Com isso, temos que b²=ac
Exemplo:Na P.G (2, 4, 8, 16, 32, 64)
4²= 2 • 8
4=√2 • 8
16²= 32 • 8
16=√32 • 8
Soma dos termos de uma P.G finita:
Para calcular a soma dos termos de uma P.G finita, deve-se utilizar a seguinte fórmula:Sn= a1 • (q^n - 1)
q - 1
Onde:
Sn= soma dos termos da P.G
a1= primeiro termo da sequência
n= quantidade de elementos da P.G
q=razão da P.G
Exemplo: Considere a P.G (2, 6, 18...), calcule a soma dos cinco primeiros termos.
I) Ao estudarmos a sequência, temos que: q=3, a1=2 e n =5. Com isso, temos que a soma dos termos será:
Sn= a1 • (q^n - 1)
q - 1
S5= 2 • (3^5 - 1)
3 - 1
S5= 2 • (243 - 1)
2
S5= 242
Soma dos termos de uma P.G infinita:
Para calcular a soma dos termos de uma P.G infinita, deve-se utilizar a seguinte fórmula:Sn= a1
1 - q
Onde:
Sn= soma dos termos da P.G
a1= primeiro termo da sequência
q=razão da P.G
Exemplo: Calcule a soma dos termos da P.G infinita (2, 1, 1/2, 1/4...)
I) Ao estudarmos a sequência, temos que: q=1/2, a1=2. Com isso, temos que a soma dos termos será:
Sn= a1
1 - q
Sn= 2
1 - 1
2
Sn= 2 = 4
1
2
Sn= 4
Produto dos termos de uma P.G:
Para calcular o produto dos termos de uma P.G, deve-se utilizar a seguinte fórmula:Pn= a1^n • q^(n •(n - 1)/2)
Pn= produto dos termos da P.G
a1= primeiro termo da sequência
n= quantidade de elementos da P.G
q=razão da P.G
Dominando o conhecimento:
Questão 1) Determine x, de modo que (4, 4x, 10x + 6) seja P.G.Questão 2) Determine o décimo termo da P.G (3, 6, 12...).
Questão 3) Na P.G estritamente crescente (a1, a2, a3...) tem se a1 + a6= 1025 e a3 • a4= 1024. Determine a razão da progressão.
Questão 4) As medidas dos lados de um triangulo retângulo estão em P.G determine a razão q.
Questão 5) Calcule a soma dos onze primeiros termos da P.G (2, 4, 8...)
Questão 6) Calcule a soma dos infinitos termos da P.G (32, 8, 2...)
Resoluções:
Questão 1) (4,4x,10x + 6)=> P.G.I) Aplicando a primeira propriedade da P.G para relacionar os termos da sequência,temos que:
(4x)²= 4 • (10x + 6)
16x²= 40x + 24
16x² - 40x -24= 0
* Dividindo ambos os lados da equação por 8, temos a seguinte igualdade:
2x² -5x -3=0
II) Aplicando a fórmula de Bhaskara para determinar x:
∆=b² - 4ac
∆=(-5)² - 4 • 2 • (-3)
∆= 25 + 24
∆= 49
x= 5 ± √49
2 • 2
x= 5 ± 7
4
x'= 5 + 7
4
x'= 12
4
x'=3
x"= 5 - 7 = - 2
4 4
x"= - 1
2
III) Agora iremos verificar se as duas raízes podem ser solução da P.G
* Para x=3
P.G.=[4,4x,10x + 6]
P.G.=[4,(4 • 3),(10 • 3) + 6]
P.G.=(4,12,30 + 6)
P.G.=(4,12,36)=> P. G crescente
*Para x= -1/2
P.G.=[4,4x,10x + 6]
P.G.=[4, 4 • (-1/2), 10 • (-1/2) + 6]
P.G.=(4,-2,-5 + 6)
P.G.=(4,-2,1)=> P.G oscilante
Resposta:x=3 ou x= -1/2
Questão 2)
I) Para determinarmos o que o problema pede, aplicaremos a fórmula do termo geral. De acordo com o enunciado, temos que:q=2, a1=3 e n =10.
an=a1 • q^(n - 1)
an= 3 • 2^(10 - 1)
an= 3 • 2^9
an= 3 • 512
an= 1536
Resposta: an= 1536
Questão 3)
I) Seja (a1, a2, a3...) uma P.G crescente.Pelo enunciado, temos que:
{a1 + a6= 1025
{ a3 • a4= 1024
II) Pela fórmula do termo geral, temos que: a3= a1•q^2, a4=a1•q^3 e a6= a1•q^5. Substituindo nas duas equações, segue-se que:
{a1 + a1 • q^5= 1025
{(a1•q^2) •(a1•q^3)= 1024
* Desenvolvendo o sistema, temos:
{a1 + a1 • q^5= 1025
{a1 • a1 • q^5= 1024
III) Isolando a1 • q^5 na primeira equação,obtemos:
a1 + a1 • q^5= 1025
a1 • q^5= 1025 - a1
IV) Substituindo esta última igualdade na primeira equação:
a1 • a1 • q^5= 1024
a1 • (1025 - a1)= 1024
1025a1 - a1^2= 1024
- a1² + 1025a1= 1024 ( multiplicando os dois lados da equação por -1)
a1² - 1025a1= -1024
a1² - 1025a1 + 1024 = 0
V) Agora, aplicaremos a fórmula de Bhaskara:
∆=b² - 4ac
∆=(-1025)² - 4 • 1 • (1024)
∆= 1 050 625- 4 096
∆= 1046 529
a1=(1025 ± √1 046 529)/2
a1= (1025 ± 1023)/2
a1'=(1025 + 1023)/2
a1'=2048/2
a1'=1024 (não serve, pois a P.G deve ser crescente)