Questão 1)(ITA) Se o perímetro de um triângulo inscrito num círculo medir 20x cm e a soma dos senos de seus ângulos internos for igual a x, então a área do círculo, em cm² , será igual a:
Questão 2)(ITA) Considere três polígonos regulares tais que os números que expressam a quantidade de lados de cada um constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes três números é
igual a 585 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 3780∘
. O número
total das diagonais nestes três polígonos é igual a:
A) 63
B)69
C)90
D)97
E) 106
Questão 3)(ITA) Determine o número complexo z, sabendo que arg (z - 1)=2π/3, arg (z + 1)= π/6.
Obs: arg w é o argumento do número complexo w.
Questão 4) (ITA) Se a= cos π/5 e b= sen π/5, então o número complexo (cos π/5 + i sen π/5)54 é:
a) a + bi
b)-a + bi
c)(1-2a² b²) + ab(1 + b²)i
d) a - bi
e) 1- 4a²b² + 2ab (1- b²)i
Resoluções:
Questão 1) (ITA)
Considerando r o raio da circunferência circunscrita. Além disso, considere que os ângulos internos do triângulo são A, B e C e que os lados do triângulo são a, b e c.
Pela lei dos senos, teremos:
a/sen A=b/ sen B= c/ sen C= 2r
A partir das propriedades de proporção, teremos:
a/sen A=b/ sen B= c/ sen C= 2r= (a + b + c)/(sen A + sen B + sen C)
No enunciado a + b + c=20x e sen A + sen B + sen C=x. Com isso teremos:
2r=(a + b + c)/(sen A + sen B + sen C)
2r= 20x/x= 20 => r= 10 cm
Conhecido o raio da circunferência, sua área será:
A=πr²=π10²
A=100π cm²
Resposta: A=100π cm²
Questão 2) (ITA)
I) Para a resolução da questão, devemos considerar que: n1= n - r, n2= n, n3= n + r (número de lados de cada polígono). A soma dos ângulos internos de cada polígono será dada por:
S1 + S2 + S3= 3780°
(n - r - 2) 180° + (n - 2) 180° + (n + r -2) 180°= 3780°
Simplificando
n - r - 2 + n - 2 + n + r - 2= 21
3n - 6= 21 => n= 9
II) Recorrendo ao enunciado, teremos:
n1 • n2 • n3= 585
Sendo n2=9
n1 • n3= 65
n1• n3= 5 • 13
n1 e n3 são números naturais. Sendo assim, existem duas possibilidades
(n1, n2, n3)= (5, 9, 13) ou (n1, n2, n3)= (1, 9, 65)
Na primeira opção, temos os lados em progressão aritmética, então podemos calcular:
d= d1 + d2 + d3
d= [5 • (5 - 3)]/2 + [9 • (9 - 3)]/2 + [13 • (13 - 3)]/2
d= 5 + 27 + 65
d= 97
Resposta: Item d
Questão 3) (ITA)
I) Assumindo z= a + bi, teremos:
z -1= (a - 1) + bi
z +1= (a + 1) + bi
tg 2π/3= -√3 = b/ (a - 1) => b= -√3(a - 1) (i)
tg π/6= √3/3= b/(a + 1) => [(a + 1)√3]/3 (ii)
II) (i)= (ii)
b=b => -√3(a - 1)= [(a + 1)√3]/3 => (1 - a)= (a + 1)/3 =>
3 - 3a= a + 1 => a=1/2
Substituindo a em (i):
b= -√3(a - 1) =>b= -√3((1/2) - 1)=√3/2
III) Com isso, teremos:
z= a + bi => z= 1/2 +(√3/2)i
Resposta: z= 1/2 +(√3/2)i
Questão 4) (ITA)
Escrevendo z= cos π/5 + i sen π/5 na forma exponencial (ou Euleriana), teremos:
z= cos π/5 + i sen π/5= e^iπ/5
Com isso, teremos o seguinte valor para (cos π/5 + i sen π/5)54:
(cos π/5 + i sen π/5)54:= (e^iπ/5)54= e^i54π/5
Convertendo esse termo, teremos:
(cos π/5 + i sen π/5)54=e^i54π/5=cos 54π/5 + i sen 54π/5
(cos π/5 + i sen π/5)54=[cos (50π/5 +4π/5) + i sen (50π/5 +4π/5)]
(cos π/5 + i sen π/5)54=[cos (10π +4π/5) + i sen (10π+4π/5)]
(cos π/5 + i sen π/5)54=[cos (4π/5) + i sen (4π/5)]
Sendo 4π/5= π - π/5, teremos:
(cos π/5 + i sen π/5)54=[-cos (π/5) + i sen (π/5)]
Sendo a= cos (π/5) e b=sen (π/5), temos:
(cos π/5 + i sen π/5)54=[-cos (π/5) + i sen (π/5)]
(cos π/5 + i sen π/5)54= -a + bi
Resposta: -a + bi. Item b
