Racionalização de denominadores

Introdução:

A racionalização de denominadores é um processo utilizado para tornar um denominador irracional em um denominador racional. Esta técnica é utilizada porque o resultado da divisão por um número irracional apresenta um valor pouco preciso.
Lembrando-se de que quando multiplicamos o numerador e denominador de uma fração por um mesmo valor, teremos uma fração equivalente, ou seja, frações que representam o mesmo valor.
A racionalização de denominadores segue o mesmo princípio, só que o número escolhido para multiplicar o denominador e numerador da fração em questão é chamado de conjugado, ou racionalizante. Portanto, a racionalização de denominadores consiste na obtenção de uma fração com denominador racional, equivalente a uma anterior com denominador irracional que possuísse um ou mais radicais.

Fator racionalizante e principais casos de racionalização:

Fator racionalizante é um número que, quando multiplicado com um número irracional, torna este último um número racional, ou seja, sem raiz.

Os principais casos de racionalização são

-Primeiro caso: O denominador é uma raiz quadrada:

   1   =   1    •    √3  =  √3  
  √3      √3        √3       √3

* O fator racionalizante de √a é √a, pois √a • √a= a

-Segundo caso: O denominador é um radical cujo índice é diferente de 2.

   2   =    2    •   3√(7)²  = 2 • 3√(7)² 

 3√7      3√7       3√(7)²          7

*O fator racionalizante de n√[(a)^m] é n√[(a)^n - m]

-Terceiro caso: O denominador é a soma, ou diferença, de dois termos.

      5      =       5        •  (3 - √3)  =  5 (3 - √3)  =   5 (3 - √3)  
 (3 + √3)    (3 + √3)      (3 - √3)        3² - (√3)²            6

* O fator racionalizante, ou conjugado, de a + √b é a - √b

A seguir, alguns outros fatores racionalizantes, de acordo com o tipo de denominador

* O fator racionalizante, ou conjugado, de √a + √b é √a - √b
* O fator racionalizante, ou conjugado, de √a - √b é √a + √b
* O fator racionalizante, ou conjugado, de √a + b é √a - b

Dominando o conhecimento:

Questão 1) CEFET/RJ-2015 Seja m a média aritmética dos números 1, 2, 3, 4 e 5. Qual é a opção que mais se aproxima do resultado da expressão abaixo?

a) 1,1

b) 1,2

c) 1,3

d) 1,4

Questão 2) IFCE 2017- Aproximando os valores de √5 e √3 até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e e 1,73, respectivamente. Aproximando o valor de 1/ (√5 + √3) até a segunda casa decimal, obtemos:

a) 1,98

b) 0,96

c) 3,96

d) 0,48

e) 0,25

Questão 3) Racionaliza a expressão: 1/(6 +√3)

Resoluções:

Questão 1)

I) Primeiramente, sabemos que m corresponde a média aritmética de 1, 2, 3, 4 e 5.

m= (1 + 2 + 3 + 4 + 5) 

                    5

m=   15  

          5

m= 3

II) Sabendo o valor de m, basta substituí-lo na expressão.

Resposta: Item d) 1,4.

Questão 2)

I) Primeiramente, iremos racionalizar a expressão para facilitar os cálculos.

       1         •   (√5 - √3)   =    (√5 - √3)     =  (√5 - √3)         

 (√5 + √3)      (√5 - √3)        (√5)² - (√3 )²           2

II) Agora, iremos utilizar os valores de √5 e √3 para calcular o valor aproximado desta expressão.

  (√5 - √3)   =  2,23 - 1,73  = 0,50 = 0,25

        2                      2               2

Resposta: Item e) 0,25.

Questão 3)

*Basicamente, só precisamos aplicar a racionalização de denominadores para tornar o denominador desta fração racional.

       1       =        1        •  (6 +√3) =    (6 + √3)   =    (6 +√3)  

  (6 -√3)        (6 -√3)       (6 +√3)        6² - (√3)²           3

Referências:

1-https://matematicabasica.net/racionalizacao-de-denominadores/
2-https://www.somatematica.com.br/fundam/radiciacao12.php
3-https://www.todamateria.com.br/racionalizacao-de-denominadores/
4-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/racionalizacao-denominadores.htm
5-https://www.todamateria.com.br/radiciacao-exercicios/
6-https://files.comunidades.net/profjosecarlos/Racionalizacao_de_denominadores.pdf