Equações irracionais.

O que é?

Toda equação é uma relação de igualdade na qual  a sua condição de seu estudo consiste em encontrar um valor para a incógnita que satisfaça a igualdade. Uma equação irracional é aquela que contém pelo menos uma incógnita em um radicando.

Resolução:

Para solucionar uma equação desse tipo, é necessário transformá-la em uma equação racional. Para que isso seja possível, devemos elevar os dois lados da equação para um expoente conveniente.

Feito isso, deve-se solucionar a equação e verificar se as raízes satisfazem a igualdade, ou seja, se elas podem ou não ser aceitas como solução da equação irracional.

Essa verificação é importante, pois, ao elevarmos os dois membros da equação, é possível encontrarmos raízes estranhas à equação dada.

Para que fique mais fácil de entender a resolução destas equações, demonstraremos dois exemplos de equações irracionais.

Exemplo 1: √(x + 1)= 2

I) Como o radical da equação já está isolado, iremos elevar os dois lados da equação ao quadrado para torná-la racional e solucioná-la

            [√(x + 1)]²= 2²

                 x + 1= 4
                 x= 4 - 1
                 x=3

II) Agora, iremos substituir x por 3 para verificar a igualdade

         √(x + 1)=2
           √(3 + 1)=2
           √4=2 
              2=2 ( igualdade verdadeira)

Resposta: S= {3}

Exemplo 2:√(x + 3)  + x = 3

I) Isolando o radical da equação temos a seguinte igualdade:

        

√(x + 3) + x = 3
√(x + 3)= 3 - x

II) Para tornar a equação racional, elevaremos os seus membros ao quadrado:

 [√(x + 3)]²= (3 - x)²
x + 3= 9 - 6x + x²
x² - 6x + 9= x+3
x² -6x -x + 9 - 3= 0
x² - 7x + 6= 0

III) Resolvemos a equação:
x² - 7x + 6=0

Coeficientes da equação
a=1
b= -7
c= 6
Aplicando a formula de Bhaskara

∆=b² - 4ac
∆= (-7)² - 4 • 1• (6)
∆=49 - 24
∆=25

x= -b ± √∆ 

         2a

x=-(-7)± √25 
         2 • 1

x= 7 ± 5
         2

x'=7 + 5
         2
x'= 12
       2

x'=6

x''= 7 - 5
         2

x''=  2  
        2

x''= 1

IV) Verificando as raízes:
*Primeira raiz:
√(x' + 3) + x' = 3

√(6 + 3) + 6 = 3

√(9) + 6 = 3

3 + 6= 3

9=3 (falsa)

* Segunda raiz:

√(x'' + 3) + x'' = 3

√(1 + 3) + 1 = 3

√(4) + 1= 3

2+ 1=3

3=3 (verdadeira)

Resposta: S={1}, pois 6 não é solução da equação.

Dominando o conhecimento -Exercícios:

Questão 1) (MAFOPEI - SP) Resolver a equação √( 4x + 5) - x= 0

Questão 2) Resolva a equação irracional a seguir: √(2x+ 3)=√(x - 5)

Questão 3) O conjunto verdade da equação √(x² - 3x - 3)=√(3x + 4) em R é:
a){-1}
b){7}
c){7, -1}
d) {}

Questão 4)(ITA - SP) Resolver √x + 1= √(x - 1)

Questão 5) (UTFPR) A equação irracional √(9x - 14)= 2 resulta em x igual a:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2

Questão 6)(FAAP - SP) Resolver √x + √(x + 12)= 6

Questão 7) Resolva a seguinte equação irracional: x=√(6x - 8)

Questão 8) (Colégio Naval) Quantas raízes reais tem a equação √(x + 20)= x  
a) Nenhuma                                                                                           
b) Uma               
c) Duas, as quais são positivas  
d) Duas, as quais são  negativas
e) Duas, as quais têm sinais opostos                           

Resoluções:

Questão 1)

I) Isolando o radical da equação temos a seguinte igualdade:

        

√(4x + 5) - x=0

√(4x + 5)= x

II) Para tornar a equação racional, elevaremos os seus membros ao quadrado:

 [√(4x + 5)]²= x²

4x + 5= x²
x² - 4x - 5=0

III) Resolvemos a equação:

x² - 4x - 5=0

Coeficientes da equação

a=1

b= -4

c= -5

Aplicando a formula de Bhaskara

∆=b² - 4ac
∆= (-4)² - 4 • 1• (-5)
∆=16 + 20
∆=36

x= -b ± √∆ 
         2a

x= -(-4) ± √36 
            2 • 1
x= 4 ± 6 
         2
x'= 4 + 6 
         2

x'= 10  
       2
x'= 5

x''= 4 - 6 
         2
x''= - 2 
         2
x''= -1

IV) Verificando as raízes:
*Primeira raiz:
√(4x' + 5) - x' = 0

√(4 • 5 + 5) - 5 = 0

√(20 + 5) - 5 = 0

√(25) - 5 = 0

5-5=0

0=0 (verdadeira)

* Segunda raiz:

√(4x'' + 5) - x'' = 0

√(4 • (-1) + 5) - (-1) = 0

√(5 - 4)  + 1= 0

√(4 • (-1) + 5) - (-1) = 0

√(5 - 4) + 1 = 0
√1 + 1 = 0
1 + 1=0
2= 0 falsa

Resposta: V={5}, pois -1 não é solução da equação.

Questão 2)
I) Visto que ambos os lados da igualdade apresentam radicais isolados, podemos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para tornar a equação racional.

[√(2x+ 3)]²=[√(x - 5)]²
2x + 3= x - 5

II) Agora que a equação é racional, basta solucioná-la

2x + 3= x - 5
2x - x= -5 - 3
x= -8

Resposta: V={-8}

Questão 3)
I) Visto que ambos os lados da igualdade apresentam radicais isolados, podemos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para tornar a equação racional

√(x² - 3x - 3)=√(3x + 4)
[√(x² - 3x - 3)]²=[√(3x + 4)]²
x² - 3x - 3= 3x + 4
x² - 3x - 3x -3 - 4=0
x² - 6x - 7= 0

II)Visto que a equação se tornou racional, resolvemos a equação:

x² - 6x - 7=0

Coeficientes da equação

a=1

b= -6

c= -7

Aplicando a formula de Bhaskara

∆=b² - 4ac

∆= (-6)² - 4 • 1• (-7)
∆=36 + 28
∆=64

x= -b ± √∆ 

         2a

x= -(-6)  ± √64 
             2 • 1
x=  6 ± 8  
         2
x'= 6 + 8 
         2
x'= 14 
       2
x'= 7

x''= 6 - 8 
         2

x''= - 2 
         2
x''= -1

III) Verificando as raízes da equação:

*Primeira raiz:
√(x² - 3x' - 3)=√(3x' + 4)

√(7^2 - 3 • 7 - 3)=√(3 • 7 + 4)

√(49 - 21 - 3)= √(21 + 4)

√(49 - 24)= √(21 + 4)
√(25)= √(25)
5=5 (verdadeira)

* Segunda raiz:

√(x''² - 3x'' - 3)=√(3x'' + 4)

√( (-1)^2 - 3 • (-1) - 3)=√(3 • (-1) + 4)

√(1 + 3 - 3)= √(4 - 3)

√(1)= √(1)

1=1 (verdadeira)

Resposta: Item c. V={7, -1}

Questão 4)

I) Como os dois lados da equação apresentam radicais isolados, basta elevar os dois lados da equação ao quadrado, pois os dois radicais apresentam uma raiz quadrada.

√x + 1= √(x - 1)

(√x + 1)²= [√(x - 1)]²

x + 2 • √x • 1 + 1= x - 1

x + 2√x + 1= x - 1

II) Visto que ainda existe um radical na equação, iremos isolá-lo para facilitar os cálculos:

2√x = x - x - 1 - 1

2√x = -2

√x= - 2 

          2

√x= -1

III) Elevando novamente ao quadrado, temos que:

(√x)^2=(-1)^2
x= 1

IV) Verificando a raiz da equação:
√x + 1= √(x - 1)
√1 + 1= √(1 - 1)
1 + 1= √0
2=0 (afirmação falsa)

Resposta: V={}

Questão 5)

I) Visto que ambos os lados da igualdade apresentam radicais isolados, podemos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para tornar a equação racional.

√(9x - 14)= 2

[√(9x - 14)]²= 2²

9x - 14= 4

II) Agora que tornamos a equação racional, basta resolvê-la.

9x - 14= 4

9x= 14 + 4

9x= 18

x= 18 

       9

x=2

III) Verificando a raiz da equação temos que:

√(9x - 14)= 2

√(9 • 2 - 14)= 2

√(18 - 14)= 2
√4= 2
2=2 (verdadeira)

Resposta: Item e, x=2

Questão 6)

I) Como os dois lados da equação apresentam radicais isolados, basta elevar os dois lados da equação ao quadrado, pois os dois radicais apresentam uma raiz quadrada.

√x + √(x + 12)= 6

[√x + √(x + 12)}²= 6²

x + 2 • √x • (x + 12) • 1 + x + 12= 36

x + 2√(x² + 12x) + x + 12=36

2√(x² + 12x) + 2x + 12 = 36

2√(x² + 12x)= 36 - 12 -2x

2√(x² + 12x)= 24 -2x

II) Visto que ainda existe um radical na equação, iremos isolá-lo para facilitar os cálculos:

2√(x² + 12x) =24 - 2x

Dividindo ambos os lados da equação por dois:

(:2) 2√(x^2 + 12x) =24 - 2x (:2)

 √(x² + 12x) =12 - x

III) Visto que ainda existe um radical na equação,elevaremos a equação ao quadrado para torná-la racional:

 √(x² + 12x) =12 - x

 [√(x² + 12x)]²=(12 - x)²

x² + 12x=144 - 24x + x²

IV) Agora que a equação é racional, podemos solucioná-la

x²+ 12x=144 - 24x + x²

x² - x² + 12x + 24x= 144

36x= 144

x= 144/36

x=4

V) Verificando a raiz da equação:

√x + √(x + 12)= 6 

√4 + √(4 + 12)= 6

2 + √(16)=6

2 + 4= 6

6=6 (verdadeira)

Resposta: V={6}

Questão 7) 

I) Como os dois lados da equação apresentam radicais isolados, basta elevar os dois lados da equação ao quadrado, pois os dois radicais apresentam uma raiz quadrada.

x=√(6x - 8)

x²=[√(6x - 8)]²

x²= 6x - 8

x²- 6x + 8=0

II) Visto que a equação se tornou racional, podemos solucioná -la

x² - 6x + 8=0

Coeficientes da equação:

a=1

b= -6

c= 8

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

∆=b² - 4ac

∆= (-6)² - 4 • 1 • 8
∆=36 - 32
∆=4

x= -b ± √∆ 

         2a

x= -(-6) ± √4 

           2 • 1

x= 6 ± 2 

         2

x'= 6 + 2 

         2

x'= 8 

      2

x'= 4

x''= 6 - 2 

         2

x''= 4 

       2

x''= 2

III) Verificando as raízes da equação:

* Primeira raiz:

x'=√(6x' - 8)

4=√(6 • 4 - 8)

4=√(24 - 8) 

4=√ 16 
4=4 (verdadeira)

* segunda raiz:

x''=√(6x'' - 8)

2=√(6 • 2  - 8)

2=√(12  - 8)

2=√4 

2=2 (verdadeira)

Resposta: V={4, 2}              
  
Questão 8)
I) Primeiramente, iremos elevar ambos os  membros da igualdade ao quadrado
x=√(x + 20)    
x²=[√(x + 20)]²      
x²= x + 20
x² - x - 20= 0

II) Resolvendo a equação pela fórmula de Bhaskara:                                                           
∆=b² - 4ac       
∆=(-1)² - 4 • 1 • (-20)
∆= 1 + 80
∆= 81

x= 1 ± √81            
         2
x= 1 ± 9               
        2
x'= (1 + 9)/2= 5
x"=(1 - 9)/2= -4

III) Verificando as raízes
*Primeira raiz
x=√(x + 20)                      
5=√(5 + 20)         
5=√25 (verdadeira)

*Segunda raiz        
x=√(x + 20)
-4=√(-4 + 20)   
-4= √16  
-4= 4 (falsa)                         

 Resposta:  Item b.       

Agradecimentos:

Agradeço a todos que prestigiaram meu blog e espero que gostem das atuais e futuras postagens do blog. Quem tiver dúvidas, pode comentá-las. Espero ter ajudado.

Referências:

1-https://www.estudopratico.com.br/equacoes-irracionais/
2-https://www.infoescola.com/matematica/equacoes-irracionais/
3-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacoes-irracionais.htm
4-https://doutormatematico.blogspot.com/2013/05/equacoes-irracionais.html
5-https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/propriedades-dos-radicais.htm
6-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-irracionais.htm
7-http://www.matematicamuitofacil.com/equacaoirracional01.html
8-https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-irracionais.htm
9-https://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/equacoes2_14.php
10-http://meteorotica.blogspot.com/2012/01/exercicios-resolvidos-sobre-equacoes.html